Aufgabe 1

Bestimme das Minimum der Funktion f(x) = (x² − 2x − 1)(x² − 2x − 3).

1. Lösungsweg

Es sei g(x) = x² − 2x − 1 und h(x) = x² − 2x − 3. Damit ist f(x) = g(x)·h(x).

Da eine Quadratzahl stets positiv ist, gilt g(x) = (x − 1)² − 2 ≥ 0 − 2 = −2.

Daraus folgt: g_min = −2.

Ähnlich erhalten wir h(x) = (x − 1)²− 4 ≥ 0 − 4 = −4.

Daraus folgt: h_min = −4.

f_min = g_min · h_min = 8.

Antwort: Das Minimum ist 8.

2. Lösungsweg

Es sei x² − 2x = u. Damit ist f(u) = (u − 1)(u − 3) = u² − 4u + 3 = (u − 2)² − 1.

Da eine Quadratzahl stets positiv ist, gilt f(u) ≥ 0 − 1 = −1.

Daraus folgt: f_min = −1.

Die zwei Lösungswege haben zu zwei unterschiedlichen Ergebnissen geführt.

Widerspruch! – Was ist richtig? Was ist falsch? Warum?

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